Zoomprof

20/04/2021

27/02/2021

Un grand merci pour notre prof du mois Sabrina pour ses supers cours donner ce mois-ci

05/01/2021

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18/12/2020

Exercice 3

Un homme met un couple de lapin dans un local fermé, pour découvrir combien de couple de lapins auront été engendrés a partir du premier couple au bout d’une annéePar nature un couple de lapins engendre un autre couple chaque mois, et il commence à se reproduire 2 mois après sa naissance.

Possédant au départ un couple de lapins, combien de couple de lapins obtient-on en une année si aucun lapin ne meurt ?Notons Ln le nombre de couple de lapins au début du n ème mois.

1/ expliquer pourquoi on a :L0= 1, L1=1 et Ln+2=Ln+1+Ln

2/ réaliser un algorithme qui permette de calculer Ln quand l’utilisateur donne n.

3/ cette suite à des nombreuses propriétés surprenantes. Etudions-en-trois.

a.Montrer par récurrence que pour tout entier n : Ln+2=L0+L1+L2+...+Ln+1

b.Montrer que pour tout entier n : Ln+Ln+1+Ln+2+...+Ln+9 = 11* Ln+6 ; en exprimant successivement tous les Ln+k en fonction de Ln et de Ln+1.c.En notant rn=Ln+1÷Ln,conjecturer la limite de la suite (rn) a l’aide de votre algorithme.

17/12/2020

Exercice 2 Un artisan chocolatier empile des truffes pour former un tétraèdre régulier (une pyramide a base triangulaire)1/ si la pyramide fait 10 étages en numérotant les étages à partir du haut, combien doit il disposer de truffes au 1er étage ? et au 10ème et au 5ème ?2/ Emettre une conjecture sur le nombre de truffes présente au Nème étage ou N est un nombre entier supérieur à 1.3/ l’artisan veut créer une pyramide a 2 étages, une a 3 étages et une a 4 étages.De combien de truffes aura-t-ilbesoin pour construire chacune de ces pyramides ?
4/ Emettre une conjecture sur le nombre de truffes nécessaire pour réaliser une pyramide a n étages.5/ Démontrer que le nombre de truffes nécessaires pour construire une pyramide a n étages est de : (n(n+1) (n+2)) /6

16/12/2020

Zoomprof organise des cours de soutien scolaire soir et weekend en ligne pour des élèves aux collèges et lycées et recherche des profs afin d'accompagner les élèves.
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à bientôt

14/12/2020

Bonjour tout le monde, aujourd'hui Zoomprof, vous propose des sujets de Bac S, la fin de l’année civile approche et la phase de préparation de nos amis de terminales S s’accélère.On reste à vos coté c’est le moment de voyager chez un maitre chocolatier et de finir avec un éleveur de lapins tout doux !!! Mais avant tout on commence par un sujet de bac s 2010Bonne visite sur Zoomprof...

Exercice 1

Soit (Un) la suite définie par U0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, parUn+1= (4Un-1) ÷ (Un+2). Si f est la fonction définie sur l’intervalle] -2 ; +∞ [par f(x)= (4x-1) ÷ (x+2), alors on a pour nombre entier naturel n, Un+1 = f(un).

1/ a. Ecrire un algorithme qui affiche tous les thermes de la suite (Un) dont le rang est inférieur à un nombre demandé à l’utilisateur.b. a l’aide de cet algorithme et de votre calculatrice quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation et sur le sens devariation de la suite (Un) ?

2/ a. Démontrer par récurrence que pour tout nombre entier naturel n ; on a Un-1> 0.b. dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Valider par une démonstration les conjectures émises à la question 1b.

3/ On se propose ici d’étudier la suite (Un) en déterminant une expression de Un en fonction de n.Pour tout nombre entier naturel n on pose Vn = 1 ÷ (Un-1)
a. Démontrer que la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison 1÷3
b. Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
c. En déduire la limite de la suite (Un).
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ENG:

Hello everyone, today Zoomprof, offers you Bac S subjects, the end of the calendar year is approaching and the preparation phase of our friends of terminal S is accelerating. We remain at your side is the time to travel to a master chocolate maker and end up with a breeder of very sweet rabbits !!! But first of all we start with a subject of bac s 2010 Have a good visit on Zoomprof ...

Exercise 1

Let (Un) be the sequence defined by U0 = 5 and for any natural number n, by Un + 1 = (4Un-1) ÷ (Un + 2). If f is the function defined over the interval] -2; + ∞ [by f (x) = (4x-1) ÷ (x + 2), then we have for natural number n, Un + 1 = f (un).

1 / a. Write an algorithm that displays all the thermal baths in the sequence (Un) whose rank is lower than a number requested from the user. B. Using this algorithm and your calculator, what conjectures can we make on the direction of variation and on the direction of variation of the sequence (Un)?

2 / a. Prove by induction that for any natural number n; we have Un-1> 0.b. in this question any trace of research, even incomplete, or even fruitful initiative, will be taken into account in the evaluation. Validate by a demonstration the conjectures made in question 1b.

3 / We propose here to study the sequence (Un) by determining an expression of Un as a function of n. For any natural number n we set Vn = 1 ÷ (Un-1)
at. Prove that the sequence (Vn) is an arithmetic sequence of ratio 1 ÷ 3
b. Express Vn then Un as a function of n.
vs. Deduce the limit of the sequence (Un).

10/12/2020

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
A) Soit (Un) et (Vn) deux suites définies sur N.
Si lim (Un-Vn)=0 alors les deux suites convergent vers la même limite
n→ +∞
B) si une suite (Un) minoré par 0 est convergente, alors elle est décroissante.
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Are the following statements true or false? To justify.
A) Let (Un) and (Vn) be two sequences defined on N.
If lim (Un-Vn) = 0 then the two sequences converge towards the same limit
n → + ∞
B) if a sequence (Un) reduced by 0 is convergent, then it is decreasing.

09/12/2020

On considère une droite d munie d’un repère (O ; i). Soit (An) la suite des points de la droite d ainsi
définie : A0 est le point O ; A1 est le point d’abscisse 1 ; Pour tout entier naturel n; le point An+2 est le milieu du segment [An An+1].
1. a. Placer sur un dessin de la droite d, les point A0, A1, A2, A3, A4, A5, et A6.
On prendra 10 cm comme unité graphique
b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An. Calculer a2, a3, a4, a5 et a6
c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité :
an+2= (an+an+1) ÷2
2. démontrer par récurrence, que pour tout entier n :
an+1=-1÷2 an +1
3. Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel,
Par Un = an-2÷3. Démontrer que (Un) est une suite géométrique de raison -1÷2
4. déterminer la limite de la suite (Un)pour celle de la suite (an)

09/12/2020

Un agriculteur utilise 2000 m de clôture pour entourer un enclos de forme rectangulaire.
On note X et dimensions de l’enclos.
1. Exprimer Y en fonction de X.
2. Ecrire l’aire A de cet enclos en fonction de X.
3. Soit f la fonction définie par f(x)=-x2+1000x
a) Tracer la courbe représentative de cette fonction pour x ∈ [0,1000].
b) Montrer que cette fonction admet un maximum que l’on déterminera.
4. En déduire les dimensions de l’enclos pour que l’aire soit maximale.

Corrigé
1. La clôture représente le périmètre de l’enclos donc p=2000, c’est à dire : 2(y + x) =2000,
donc y= 1000-x.
2. L’aire de l’enclos est égale à x*y ; donc A= (1000-x) x =1000x-x2.
3. Soit f la fonction définie par f(x)=-x2 + 1000x.
a) La courbe représentative de cette fonction est une parabole. Le coefficient de x2 est
négatif, elle est donc tournée vers le bas.

==> voir image

b) Le maximum de cette fonction est l’ordonnée du sommet. L’abscisse du sommet est le milieu de
[0 ;1000] ; soit X0=500.
L’ordonnée est égale à f (500) =-500²+1000*500=250000
►Conclusion : le maximum de f est de 250 000.

4. Nous remarquons que l’aire de l’enclos est égale à f(x). Par conséquent, l’aire sera maximale
pour le maximum de f.
Alors si x = 500 m, y = 500 m.
►Conclusion : Avec 2000 de clôture, il peut entourer un enclos carré de 500 m de côté. L’aire sera
alors de 250 000 m² soit 25 ha

Par ailleurs, -x2 + 1000x =-x (x-1000). Les racines du trinôme sont 0 et 1000, la courbe coupe l’axe des
abscisses en x=0 et en x=1000

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A farmer uses 2000 m of fence to surround a rectangular-shaped enclosure.
We denote X and dimensions of the enclosure.
1. Express Y in terms of X.
2. Write the area A of this enclosure as a function of X.
3. Let f be the function defined by f (x) = - x2 + 1000x
a) Draw the representative curve of this function for x ∈ [0.1000].
b) Show that this function admits a maximum that we will determine.
4. Deduce the dimensions of the enclosure so that the area is maximum.

Corrected
1. The fence represents the perimeter of the enclosure so p = 2000, ie: 2 (y + x) = 2000,
therefore y = 1000-x.
2. The area of ​​the enclosure is equal to x * y; therefore A = (1000-x) x = 1000x-x2.
3. Let f be the function defined by f (x) = - x2 + 1000x.
a) The representative curve of this function is a parabola. The coefficient of x2 is
negative, it is therefore turned downwards.

==> see picture

b) The maximum of this function is the ordinate of the vertex. The abscissa of the top is the midpoint of
[0; 1000]; let X0 = 500.
The ordinate is equal to f (500) = -500² + 1000 * 500 = 250000
►Conclusion: the maximum of f is 250,000.

4. We notice that the area of ​​the enclosure is equal to f (x). Therefore, the area will be maximum
for the maximum of f.
Then if x = 500 m, y = 500 m.
►Conclusion: With 2000 fencing, it can surround a square enclosure of 500 m side. The area will be
then 250,000 m² or 25 ha

By the way, -x2 + 1000x = -x (x-1000). The roots of the trinomial are 0 and 1000, the curve intersects the axis of
abscissa in x = 0 and in x = 1000

08/12/2020

Résoudre dans R les équations suivantes :
Solve the following equations in R:

1.(4x-1) (2x+3) =-4x-6
2.(x-1) (x-3) -(x-3) 2=4(3-x)
3.(2x+5) 2 - (4-3x) 2=0

07/12/2020

1.Développer et ordonner le produit suivant :

P=(2x+3) ²-(2-5x) ²+3(x+1) (1-x)

2.Factoriser l’expression suivante :Q=(x-3) ² + (5x-15) (x+2) -2x²+18
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1.Develop and order the following product:

P = (2x + 3) ²- (2-5x) ² + 3 (x + 1) (1-x)

2.Factor the following expression: Q = (x-3) ² + (5x-15) (x + 2) -2x² + 18

06/12/2020

Bonjour tout le monde, Zoomprof continue de vous accompagner pendant ces temps difficiles afin de mieux vous préparer pour vos examens de fin d’année...
Voici un exercice niveau première S
Exercice 1 (5 min)
Soient a,b,c trois réels quelconques. On pose : p=(a+b+c)÷2.
Montrer que : (p-a) ²+(p-b)²+(p-c)²+p²=a²+b²+c²
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Hello everyone, Zoomprof continues to support you during these difficult times in order to better prepare you for your end-of-year exams ...
Here is a first level exercise S
Exercise 1 (5 min)
Let a, b, c be any three real numbers. We set: p = (a + b + c) ÷ 2.
Show that: (p-a) ² + (p-b) ² + (p-c) ² + p² = a² + b² + c²

30/11/2020

Bonjour tout le monde ! ZOOMPROF vous propose aujourd’hui un exercice 1 de 30 min niveau première S

Et ensuite un exercice 2 “Vrai ou faux” niveau Terminal S sur les suites bornées.

Bon courage les matheux ! Et bonne journée...

Exercice 1:

On considère un rectangle dont les dimensions sont a et b. On dessine à l’intérieur un
parallélogramme comme indiqué sur la figure.
1. Déterminer en fonction de a de b et de x l’aire A(x) du parallélogramme
2. Déterminer x en fonction de a et de b pour que l’aire du parallélogramme soit égale à la
moitié de l’aire du rectangle. voir photo fig1
3. On choisit dans cette question a=6cm et b =8cm.
a) Écrire A(x). Préciser les valeurs que peut prendre x.
b) Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on A(x)=24cm² ?
c) Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on A(x)=36cm² ?
d) Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on A(x)=23.5cm² ?
On fera une figure dans chaque cas.
4. On choisit dans cette question a=b=8cm
a) Ecrire A(x). Préciser les valeurs que peut prendre x.
b) Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on A(x)=50cm² ?
c) Pour quelle(s) valeurs de x a-t-on A(x)=32cm² ?
On fera une figure dans chaque cas.

Exercice2
Vrai ou Faux ?
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Justifier par une propriété ou un contre-exemple.
a. Une suite non majorée tend vers + ∞
b. Une suite convergente est minorée.
c. Une suite qui tend vers - ∞ est majorée
d. Une suite qui tend vers - ∞ est minorée

Corrigé Exercice 1
1. Aire du parallélogramme
On soustrait de l’aire du rectangle les aires des triangles rectangles qui forment les coins
A(x)=ab-2½x (b-x)-2½x(a-x)
A(x)=2x²-x(a+b)+ab
2. L’aire du parallélogramme est égale à la moitié de l’aire du rectangle si seulement si :
A(x)= ½ab, ce qui équivaut a :
2x²-x(a+b)+ab=½ab; c’est a dire
2x²-x(a+b)+½ab=0
→ Résolution de cette équation
On calcule son discriminant en fonction de a et de b :
∆=(a+b)²-4ab
∆=a²+b²-2ab
∆=(a-b)²
→ Discussion
-Si a=b, alors ∆=0, l’équation a une racine double :
X0=(a+b)÷4=2a÷4 soit X0=a÷2
Interprétation : si on a un carré, le parallélogramme, dont l’aire est égale à la moitié de l’air du carré,
est obtenu en joignant les milieux des cotés
-Si a ≠ b, alors ∆ > 0, supposons b > a . L’équation a deux solutions:
X1=(a+b+b-a)÷4=b÷2.
X2=(a+b-b+a)÷4=a÷2.
Interprétation : si on a un rectangle, le parallélogramme, dont l’aire est égale à la moitié de l’aire du
rectangle, est obtenu en prenant les milieux des grands cotés et les milieux des petits cotés.
3. Remplaçons a et b par les valeurs données a=6cm et b =8cm.
a) A(x)=2x²-14x+48.
Le petit côté mesure 6cm par conséquent 0 ≤ x ≤ 6.
b) Résolution de A(x)=24
A(x)=24⇔ 2x²-14x+48=24
A(x)=24 ⇔ 2x²-14x+24=0 ⇔ x²-7x+12=0
L’équation a pour discriminant ∆ = 1, les solutions sont 3 e 4. on retrouve les valeurs particulières de
la question précédente.
►Conclusion : A(x)=24cm² si x=3cm ou x=4cm
c) Résolution de A(x)=36
A(x)=36 ⇔ 2x²-14x+48=36
A(x)=36 ⇔ 2x²-14x+12=0 ⇔ x²-7x+6=0
L’équation a pour discriminant ∆=25, les solutions sont 1 et 6
►Conclusion : A(x)=36cm² si x=1 cm ou x= 6cm
d) Résolution de A(x)=23.5
A(x)=23.5 ⇔ 2x²-14x+48=23.5
A(x)=23.5 ⇔ 2x² -14x+24.5=0
L’équation a pour discriminant ∆=0, elle une seule solution x=3.5
► Conclusion : A(x)=23.5 cm² si x=3.5 cm (voir photo fig2)
4. Remplaçons a et b par 8.
a) A(x)=2x²-16x+64
On a un carré de 8 cm par conséquent 0 ≤ x ≤ 8
b). Résolution de A(x)=50
A(x)=50 ⇔ 2x²-16x+64=50
A(x)=50 ⇔ 2x²-16x+14=0 ⇔ x²-8x+7=0
L’équation a pour discriminant ∆=36, les solutions sont 1 et 7.
► Conclusion : A(x)=50cm² si x=1cm ou x=7cm.
c) Résolution de A(x)=32
A(x)=32 ⇔ 2x² -16x + 64=32
A(x)=32 ⇔ 2x² -16x + 32=0 ⇔ x²-8x+16=0
L’équation a pour discriminant ∆=0, elle a une seule racine 4.
► Conclusion : A(x)=32cm² si x=4cm.
On retrouve la valeur particulière de la question précédente.
(voir photo fig 3)

28/11/2020

Write the following expression as a product of three factors
H = (x ^ 4 - 1) Hint: x ^ 4 = (x²) ²

corrected
H = (x ^ 4 - 1)
H = (x² - 1) (x² + 1)
H = (x + 1) (x - 1) (x² + 1)
---------------------------------------
Écrire l'expression suivante sous la forme d'un produit de trois facteurs
H = ( x^4 - 1 ) Astuce : x^4 = (x²)²

corrigés
H = ( x^4 - 1 )
H = ( x² - 1 ) ( x² + 1 )
H = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x² + 1 )

24/11/2020

Testez vos connaissances:
Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes:

f(x) = 1/x
g(x) = √x
h(x) = u.v
i(x) = u/v
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ENG:

Test your knowledge:
Determine the derivative function of each of the following functions:

f (x) = 1 / x
g (x) = √x
h (x) = u.v
i (x) = u / v

21/11/2020

Factoring and development exercises